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As Pontes de Konigsberg

Konigsberg era uma cidade banhada pelo rio Pregel que, no século XVIII, pertencia à Prússia. Actualmente pertence à Russia e é conhecida como Kaliningrado. O rio Pregel atravessa a cidade e, no seu leito, existiam duas ilhas que estavam ligadas ao resto da cidade por sete pontes. As pontes ligam as ilhas entre si e ligam-nas também a ambas as margens.

Leonard EulerUm dos passatempos dos habitantes da cidade era tentar fazer um passeio atravessando todas as pontes da cidade e passando apenas uma vez em cada uma delas. Ninguém tinha ainda conseguido resolver este problema até que o grande matemático suiço Leonard Euler (1707-1783) se debruçou sobre ele. Numa altura em que se encontrava em São Petersburgo, ao serviço da imperatriz Catarina, a Grande, da Rússia, Euler dedicou-se ao estudo deste curioso problema.

Em 1936, Euler demonstrou que era impossível realizar tal passeio. Na sua demonstração, Euler recorreu a esquemas formados por linhas e pontos, representando respectivamente as pontes e as ilhas e margens. Essas representações foram denominadas "grafos" e deram origem a um novo ramo de estudo da Matemática – a Topologia (estudo dos espaços) – e, em particular, a um ramo específico desta – a Teoria de Grafos. Este ramo da Matemática tem actualmente muitas aplicações, nomeadamente na construção de circuitos electrónicos ou na resolução de problemas de optimização. por exemplo.

As Pontes de Konigsberg

Problema dos chapéus

Junto a uma parede encontra-se uma caixa com três chapéus castanhos e dois chapéus pretos. Em frente a essa parede são colocados três homens aos quais é colocada uma venda nos olhos. Eles encontram-se alinhados segundo uma recta perpendicular à parede, de modo que o primeiro não vê nenhum dos outros e o último consegue ver os outros dois. Ainda com os olhos vendados, é colocado um chapéu na cabeça de cada um deles.

Problema dos ChapéusDe seguida, são retiradas as vendas que os impediam de ver que chapéus lhes foram colocados. No entanto, nenhum consegue ver o próprio chapéu. Só consegue ver os chapéus dos que se encontram à sua frente. Pede-se então a cada um deles que tente adivinhar a cor do seu chapéu.

O último da fila, depois de ver os chapéus dos outros, que se encontram à sua frente, afirma: “Não sei a cor do meu chapéu.” De seguida, o homem do meio, vê o chapéu do que está à sua frente e diz exactamente a mesma coisa do anterior. Por fim, o primeiro da fila, que vê apenas a parede, diz: “Eu sei a cor do meu chapéu.” Qual é a cor do seu chapéu e como é que ele descobriu?


Solução: O homem que se encontra mais afastado da parede não pode ter visto dois chapéus pretos, senão saberia que o seu era castanho. O homem do meio não pode ter visto um chapéu preto no que estava à sua frente, senão, tendo em conta a resposta anterior, saberia que o seu era castanho. Assim, só resta uma hipótese: o chapéu do homem que se encontra mais próximo da parede só pode ser castanho.

Identidade de Euler

A Identidade de Euler é considerada por muitos como a mais bela fórmula matemática existente. Esta expressão matemática de aparência bastante simples tem aplicações bastante complexas. Uma das suas principais aplicações reside precisamente na manipulação de números complexos (números da forma a+bi, em que a e b são números reais e i representa a unidade imaginária).

Identidade de Euler

A aparente simplicidade desta expressão matemática não ilustra a complexidade das situações que abrange. Além disso, existem outros pormenores de extrema importância nesta fórmula. Utiliza três funções aritméticas básicas (adição, multiplicação e exponenciação) exactamente uma vez cada. Ainda mais espantoso é o facto de utilizar os cinco números mais “famosos” da Matemática: o 0, o 1, o Ï€ (pi), o i (unidade imaginária) e o e (constante de Euler), sendo cada um deles usado exactamente uma vez. Além de tudo isto, é ainda utilizado o mais famoso símbolo relacional (=), o que, na opinião de vários matemáticos, faz desta expressão a mais importante equação matemática conhecida.