Um dos passatempos dos habitantes da cidade era tentar fazer um passeio atravessando todas as pontes da cidade e passando apenas uma vez em cada uma delas. Ninguém tinha ainda conseguido resolver este problema até que o grande matemático suiço Leonard Euler (1707-1783) se debruçou sobre ele. Numa altura em que se encontrava em São Petersburgo, ao serviço da imperatriz Catarina, a Grande, da Rússia, Euler dedicou-se ao estudo deste curioso problema.

Em 1936, Euler demonstrou que era impossível realizar tal passeio. Na sua demonstração, Euler recorreu a esquemas formados por linhas e pontos, representando respectivamente as pontes e as ilhas e margens. Essas representações foram denominadas "grafos" e deram origem a um novo ramo de estudo da Matemática – a Topologia (estudo dos espaços) – e, em particular, a um ramo específico desta – a Teoria de Grafos. Este ramo da Matemática tem actualmente muitas aplicações, nomeadamente na construção de circuitos electrónicos ou na resolução de problemas de optimização. por exemplo.

De seguida, são retiradas as vendas que os impediam de ver que chapéus lhes foram colocados. No entanto, nenhum consegue ver o próprio chapéu. Só consegue ver os chapéus dos que se encontram à sua frente. Pede-se então a cada um deles que tente adivinhar a cor do seu chapéu.

O último da fila, depois de ver os chapéus dos outros, que se encontram à sua frente, afirma: "Não sei a cor do meu chapéu." De seguida, o homem do meio, vê o chapéu do que está à sua frente e diz exactamente a mesma coisa do anterior. Por fim, o primeiro da fila, que vê apenas a parede, diz: "Eu sei a cor do meu chapéu." Qual é a cor do seu chapéu e como é que ele descobriu?

Solução: O homem que se encontra mais afastado da parede não pode ter visto dois chapéus pretos, senão saberia que o seu era castanho. O homem do meio não pode ter visto um chapéu preto no que estava à sua frente, senão, tendo em conta a resposta anterior, saberia que o seu era castanho. Assim, só resta uma hipótese: o chapéu do homem que se encontra mais próximo da parede só pode ser castanho.

Inspirado na tribar de Penrose, Escher criou alguns dos seus desenhos mais famosos, como "Queda de água" e "Escada acima e escada abaixo". Na primeira delas, Escher cria uma figura onde se podem observar três exemplos da criação de Penrose. Nesta litografia podem ser observados mais alguns elementos absurdos ou impossíveis. A queda de água (a cascata faz parte de um "movimento perpétuo" da água) e o poliedro que se encontram em cima da torre esquerda são exemplos disso. Penrose também se viria a debruçar sobre o estudo deste poliedro impossível. Neste caso, a criatividade de um artista e de um cientista influenciaram-se mutuamente criando elementos de interesse nas duas áreas.

A aparente simplicidade desta expressão matemática não ilustra a complexidade das situações que abrange. Além disso, existem outros pormenores de extrema importância nesta fórmula. Utiliza três funções aritméticas básicas (adição, multiplicação e exponenciação) exactamente uma vez cada. Ainda mais espantoso é o facto de utilizar os cinco números mais "famosos" da Matemática: o 0, o 1, o π (pi), o i (unidade imaginária) e o e (constante de Euler), sendo cada um deles usado exactamente uma vez. Além de tudo isto, é ainda utilizado o mais famoso símbolo relacional (=), o que, na opinião de vários matemáticos, faz desta expressão a mais importante equação matemática conhecida.

Os cálculos de Eratóstenes indicavam que o perímetro terrestre devia rondar os 40000 kms e o diâmetro ao nível do Equador mediria cerca de 12800 kms. Muito mais tarde, já no séc.XV, alguns estudiosos espanhois voltaram a esta questão e fizeram novos cálculos. Os seus resultados foram bastante diferentes daqueles obtidos pelo sábio grego. Estimaram o perímetro terrestre em cerca de 29000 kms. Nessa época, os impérios espanhol e português procuravam o domínio dos mares e das rotas comerciais entre o Oriente e a Europa. Baseado nos cálculos mais recentes, Colombo concluiu que a viagem para a Ásia seria mais curta se fosse feita para Ocidente. Para grande sorte de Cristovão Colombo, um erro grosseiro levou-o a uma enorme descoberta. Assim, a descoberta da América deveu-se essencialmente a erros nos cálculos por parte dos cartógrafos espanhois. Se por acaso a América não existisse, o mais provável era que Colombo não conseguisse chegar à Ásia e nunca mais ninguém teria ouvido falar nele.

Em 1522, o navegador português Fernão de Magalhães foi o primeiro a efectuar a volta ao mundo por via marítima. Apesar de não ter cocluído a expedição, já que foi morto nas Filipinas, o barco que comandava conseguiu terminar a viagem de circum-navegação. No final da viagem, ficou provado que os cálculos de Eratóstenes eram realmente muito fidedignos, sendo os valores que ele estimou muito aproximados com os que foram então verificados.

Comemora-se hoje, dia 14 de Março (3.14), o Dia do π (pi). Este é, sem dúvida, um dos números mais enigmáticos que se conhece. Pi representa a razão entre o perímetro de um círculo e o seu diâmetro. O perímetro de um círculo é igual ao produto entre pi e o dobro do seu raio

.

Apesar de representar um relação tão simples, este número não é nada vulgar. Trata-se de um número irracional (que não pode ser representado por nenhuma fracção), com um número infinito de casas decimais, que não seguem nenhum padrão de formação. Também é um número transcendente, pois não é raiz de nenhum polinómio com coeficientes reais. Esta irregularidade levou a grandes dificuldades na sua descoberta e compreensão. Durante milhares de anos, este número constituiu um dos grandes enigmas matemáticos de várias civilizações em todo o mundo.

As primeiras referências a p reportam-se aos matemáticos babilónios do séc. XIX a.C., que lhe era atribuiram o valor de 25/8 (que é uma aproximação com um erro relativo de 0,5%). No Antigo Egipto já existia uma consciência da existência desta relação. Para os egipcíos, o perímetro era um pouco mais do o triplo do diâmetro. O escriba egípcio Ahmes, efectuou o primeiro registo escrito de pi, num papiro do séc. XVII a.C., atribuindo-lhe o valor de 256/81. Também na Bíblia existe uma referência ao número 3 para representar esta razão. Mais tarde, várias civilizações oram descobrindo valores cada vez melhores para esta curiosa constante. Nos séculos seguintes, os sábios gregos, indianos e chineses também foram apresentando novos valores, correspondendo a aproximações cada vez melhores. Hoje em dia são usados super-computadores para determinar o valor de pi com muitos milhões de casas decimais correctas.

A letra grega π só começou a ser utilizada para representar esta razão há cerca de 300 anos, na publicação "Synopsis Palmariorium Mathesios" de William Jones (1706). A escolha corresponde à primeira letra da palavra grega περιφέρεια (periphereia), que significa "à volta de". Antes, era conhecido como "constante de Arquimedes". O símbolo π era usado para indicar a circunferência de determinado círculo. No entanto, a notação introduzida por William Jones foi adoptada pelo grande matemático Leonard Euler e, a partir de então, passou a ser a representação standard para a representação da misteriosa constante.

O numeral 10 também é chamado de qulit e o 20 é conhecido por inuk navdlugo, que significa "homem terminado". Surge então um problema: Como contar números maiores? Para isso precisam de mais dedos e como já esgotaram os de uma pessoa, juntam novas pessoas à conta. Assim, temos por exemplo:

Christian Goldbach (1690-1764) foi um importante matemático do século XVIII, nascido em Konigsberg (Prússia) e falecido em Moscovo. Foi também um importante historiador e professor de Matemática na Academia Imperial de Ciências de São Petersburgo. Exerceu ainda a função de tutor do Czar Pedro II da Rússia. Nos seus estudos encontrou uma propriedade que julgava ser comum a todos os números, mas nunca a chegou a provar. Desde essa altura, tanto ele com outros matemáticos tentaram provar a hipótese formulada, mas ninguém o conseguiu fazer até hoje. Em homenagem ao autor, essa propriedade foi nomeada Conjectura de Goldbach.

Em 1742, numa carta a Leonard Euler, Goldbach formulou a seguinte hipótese: "Todos os números inteiros maiores do que cinco, podem ser escritos como uma soma de três números primos."

6=2+2+2	7=2+2+3	8=2+3+3	9=3+3+3
10=2+3+5	11=3+3+5	12=2+3+7	…

Euler também não encontrou falhas na hipótese mas, tal como Goldbach, não a conseguiu provar. Mais tarde, o próprio Euler viria a reformular a hipótese enunciada pelo seu correspondente e reescreveu-a da seguinte forma: "Todos os números pares maiores que 2 podem ser escritos como a soma de dois números primos."

4=2+2	6=3+3	8=3+5	10=3+7	12=5+7
14=3+11	16=5+11	18=5+13	20=3+17	…

Hoje em dia, esta afirmação é conhecida como Conjectura de Goldbach e ainda continua à espera de uma demonstração rigorosa da sua validade. Ainda não é conhecida nenhuma excepção a esta hipótese. No entanto, isso não prova a sua veracidade.

O dinamarquês, dado que bebe chã, só pode ficar na casa azul ou na casa branca. Suponhamos então que o dinamarquês mora na casa branca. Usando algumas dicas, facilmente chegamos à seguinte tabela: 

	1ª Casa	2ª Casa	3ª Casa	4ª Casa	5ª Casa
Cor	Amarela	Azul	Vermelha	Verde	Branca
Nacionalidade	Norueguês	Alemão	Inglês	Sueco	Dinamarquês
Bebida			Leite	Café	Chã
Cigarros	Dunhill	Prince
Animal		Cavalos		Cachorros

No entanto, surge agora um problema – uma das pistas diz que "O homem que fuma Bluemaster bebe cerveja" (XII). Com a tabela neste ponto, não conseguimos colocar na mesma coluna as opções "Bluemaster" e "Cerveja", pois em todas as colunas já existe uma opção relativa à bebida e à marca de cigarros preferida de cada um (todas diferentes destas). Assim, podemos concluir que chegamos a uma contradição. Esta contradição resultou da suposição que fizémos: "O dinamarquês mora na casa branca". Assim, o dinamarquês não pode morar na casa branca. Então só nos resta uma opção: "O dinamarquês mora na casa azul".

Fazendo agora o preenchimento da tabela partindo do pressuposto que a casa azul é habitada pelo dinamarquês e usando as restantes dicas, conseguimos preencher completamente a tabela da seguinte forma:

	1ª Casa	2ª Casa	3ª Casa	4ª Casa	5ª Casa
Cor	Amarela	Azul	Vermelha	Verde	Branca
Nacionalidade	Norueguês	Dinamarquês	Inglês	Alemão	Sueco
Bebida	Água	Chã	Leite	Café	Cerveja
Cigarros	Dunhill	Blends	Pall Mall	Prince	Bluemaster
Animal	Gatos	Cavalos	Pássaros	Peixe	Cachorros

Tendo em conta que a solução do problema é única e que foram usadas todas as dicas (e nenhuma delas entra em contradição com o preenchimento efectuado), podemos concluir que esta é a solução procurada, ou seja, quem tem o peixe é o alemão!

Problema de Einstein
Resolução do Problema de Einstein (Parte I)

Um texto chinês intitulado "Chou Pei Suan Ching", escrito durante a dinastia Han (500 a.C. – 200 d.C.), apresentava uma prova numérica do Teorema de Pitágoras, usando um triângulo rectângulo cujos lados mediam 3, 4 e 5. Alguns historiadores pensam que o documento é bastante anterior à dinastia Han, o que destaca ainda mais o nível de desenvolvimento da Matemática na Antiga China. A figura acima apresenta uma prova visual do referido teorema.

Alguns anos mais tarde, o mesmo resultado viria a ser conhecido na Índia como "Teorema de Baskhara". Isto mostra que a Ciência, embora se desenvolva de modos e ritmos diferentes nas várias civilizações, acaba por convergir para resultados comuns.