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As Pontes de Konigsberg

Konigsberg era uma cidade banhada pelo rio Pregel que, no século XVIII, pertencia à Prússia. Actualmente pertence à Russia e é conhecida como Kaliningrado. O rio Pregel atravessa a cidade e, no seu leito, existiam duas ilhas que estavam ligadas ao resto da cidade por sete pontes. As pontes ligam as ilhas entre si e ligam-nas também a ambas as margens.

Leonard EulerUm dos passatempos dos habitantes da cidade era tentar fazer um passeio atravessando todas as pontes da cidade e passando apenas uma vez em cada uma delas. Ninguém tinha ainda conseguido resolver este problema até que o grande matemático suiço Leonard Euler (1707-1783) se debruçou sobre ele. Numa altura em que se encontrava em São Petersburgo, ao serviço da imperatriz Catarina, a Grande, da Rússia, Euler dedicou-se ao estudo deste curioso problema.

Em 1936, Euler demonstrou que era impossível realizar tal passeio. Na sua demonstração, Euler recorreu a esquemas formados por linhas e pontos, representando respectivamente as pontes e as ilhas e margens. Essas representações foram denominadas "grafos" e deram origem a um novo ramo de estudo da Matemática – a Topologia (estudo dos espaços) – e, em particular, a um ramo específico desta – a Teoria de Grafos. Este ramo da Matemática tem actualmente muitas aplicações, nomeadamente na construção de circuitos electrónicos ou na resolução de problemas de optimização. por exemplo.

As Pontes de Konigsberg

Problema dos chapéus

Junto a uma parede encontra-se uma caixa com três chapéus castanhos e dois chapéus pretos. Em frente a essa parede são colocados três homens aos quais é colocada uma venda nos olhos. Eles encontram-se alinhados segundo uma recta perpendicular à parede, de modo que o primeiro não vê nenhum dos outros e o último consegue ver os outros dois. Ainda com os olhos vendados, é colocado um chapéu na cabeça de cada um deles.

Problema dos ChapéusDe seguida, são retiradas as vendas que os impediam de ver que chapéus lhes foram colocados. No entanto, nenhum consegue ver o próprio chapéu. Só consegue ver os chapéus dos que se encontram à sua frente. Pede-se então a cada um deles que tente adivinhar a cor do seu chapéu.

O último da fila, depois de ver os chapéus dos outros, que se encontram à sua frente, afirma: “Não sei a cor do meu chapéu.” De seguida, o homem do meio, vê o chapéu do que está à sua frente e diz exactamente a mesma coisa do anterior. Por fim, o primeiro da fila, que vê apenas a parede, diz: “Eu sei a cor do meu chapéu.” Qual é a cor do seu chapéu e como é que ele descobriu?


Solução: O homem que se encontra mais afastado da parede não pode ter visto dois chapéus pretos, senão saberia que o seu era castanho. O homem do meio não pode ter visto um chapéu preto no que estava à sua frente, senão, tendo em conta a resposta anterior, saberia que o seu era castanho. Assim, só resta uma hipótese: o chapéu do homem que se encontra mais próximo da parede só pode ser castanho.

Construções impossí­veis

Tribar
Os fascinantes desenhos de M. C. Escher tornaram-se obras de referência artística e matemática. Um dos maiores cientistas do século vinte, o físico e matemático britânico Roger Penrose, sentiu-se também atraído pelos trabalhos de Escher. Inspirando-se nesses desenhos, Penrose elaborou um desenho impossível ao qual chamou tribar. Tratava-se de um esboço simples que à primeira vista parece normal. No entanto, após uma breve análise, verifica-se que o desenho não está de acordo com as regras da tridimensionalidade. A tribar foi tornada pública em Fevereiro de 1958 no British Journal of Psychology, com a denominação de “construção rectangular impossível”. A tribar é composta por três ligações incorrectas entre três elementos perfeitamente correctos. As ligações entre os prismas formam ângulos rectos, mas esse esquema de ligações é impossível. Basta notar que se formaria um triângulo com três ângulos rectos, ou seja, a soma das amplitudes dos ângulos internos daria 270º, quando na Geometria Euclidiana deve totalizar 180º.

Waterfall - M. C. EscherInspirado na tribar de Penrose, Escher criou alguns dos seus desenhos mais famosos, como “Queda de água” e “Escada acima e escada abaixo”. Na primeira delas, Escher cria uma figura onde se podem observar três exemplos da criação de Penrose. Nesta litografia podem ser observados mais alguns elementos absurdos ou impossíveis. A queda de água (a cascata faz parte de um “movimento perpétuo” da água) e o poliedro que se encontram em cima da torre esquerda são exemplos disso. Penrose também se viria a debruçar sobre o estudo deste poliedro impossível. Neste caso, a criatividade de um artista e de um cientista influenciaram-se mutuamente criando elementos de interesse nas duas áreas.

Identidade de Euler

A Identidade de Euler é considerada por muitos como a mais bela fórmula matemática existente. Esta expressão matemática de aparência bastante simples tem aplicações bastante complexas. Uma das suas principais aplicações reside precisamente na manipulação de números complexos (números da forma a+bi, em que a e b são números reais e i representa a unidade imaginária).

Identidade de Euler

A aparente simplicidade desta expressão matemática não ilustra a complexidade das situações que abrange. Além disso, existem outros pormenores de extrema importância nesta fórmula. Utiliza três funções aritméticas básicas (adição, multiplicação e exponenciação) exactamente uma vez cada. Ainda mais espantoso é o facto de utilizar os cinco números mais “famosos” da Matemática: o 0, o 1, o Ï€ (pi), o i (unidade imaginária) e o e (constante de Euler), sendo cada um deles usado exactamente uma vez. Além de tudo isto, é ainda utilizado o mais famoso símbolo relacional (=), o que, na opinião de vários matemáticos, faz desta expressão a mais importante equação matemática conhecida.

Eratóstenes, Colombo e Magalhães

Eratostenes_1.jpgEratóstenes de Cirene (276 a.C. – 194 a.C.) foi um dos maiores sábios gregos. Entre as suas descobertas destacam-se o Crivo de Eratóstenes (processo para descobrir números primos) e o cálculo do perímetro da Terra. No séc.II a.C., grande parte do mundo ainda era desconhecido pela civilização grega, que era uma das mais avançadas da época. Assim, apenas a Europa, a Ásia e a África eram conhecidas (e mesmo estas com algumas falhas). Mesmo assim, Eratóstenes utilizou um processo engenhoso, envolvendo a sombra provocada pelo Sol em diferentes locais, e conseguiu calcular, com um rigor notável, o perímetro terrestre. Convém ainda referir que quase todos os comtemporâneos de Eratóstenes pensavam que a superfície da Terra era plana. Ele conseguiu inferir a esfericidade terrestre e foi provavelmente o primeiro a determinar o seu perímetro.

Colombo.jpgOs cálculos de Eratóstenes indicavam que o perímetro terrestre devia rondar os 40000 kms e o diâmetro ao nível do Equador mediria cerca de 12800 kms. Muito mais tarde, já no séc.XV, alguns estudiosos espanhois voltaram a esta questão e fizeram novos cálculos. Os seus resultados foram bastante diferentes daqueles obtidos pelo sábio grego. Estimaram o perímetro terrestre em cerca de 29000 kms. Nessa época, os impérios espanhol e português procuravam o domínio dos mares e das rotas comerciais entre o Oriente e a Europa. Baseado nos cálculos mais recentes, Colombo concluiu que a viagem para a Ásia seria mais curta se fosse feita para Ocidente. Para grande sorte de Cristovão Colombo, um erro grosseiro levou-o a uma enorme descoberta. Assim, a descoberta da América deveu-se essencialmente a erros nos cálculos por parte dos cartógrafos espanhois. Se por acaso a América não existisse, o mais provável era que Colombo não conseguisse chegar à Ásia e nunca mais ninguém teria ouvido falar nele.

PlanisferioEm 1522, o navegador português Fernão de Magalhães foi o primeiro a efectuar a volta ao mundo por via marítima. Apesar de não ter cocluído a expedição, já que foi morto nas Filipinas, o barco que comandava conseguiu terminar a viagem de circum-navegação. No final da viagem, ficou provado que os cálculos de Eratóstenes eram realmente muito fidedignos, sendo os valores que ele estimou muito aproximados com os que foram então verificados.

Dia do Pi

Pi
Comemora-se hoje, dia 14 de Março (3.14), o Dia do π (pi). Este é, sem dúvida, um dos números mais enigmáticos que se conhece. Pi representa a razão entre o perímetro de um círculo e o seu diâmetro. O perímetro de um círculo é igual ao produto entre pi e o dobro do seu raio

p = pd = 2pr.

Apesar de representar um relação tão simples, este número não é nada vulgar. Trata-se de um número irracional (que não pode ser representado por nenhuma fracção), com um número infinito de casas decimais, que não seguem nenhum padrão de formação. Também é um número transcendente, pois não é raiz de nenhum polinómio com coeficientes reais. Esta irregularidade levou a grandes dificuldades na sua descoberta e compreensão. Durante milhares de anos, este número constituiu um dos grandes enigmas matemáticos de várias civilizações em todo o mundo.

PapiroAs primeiras referências a p reportam-se aos matemáticos babilónios do séc. XIX a.C., que lhe era atribuiram o valor de 25/8 (que é uma aproximação com um erro relativo de 0,5%). No Antigo Egipto já existia uma consciência da existência desta relação. Para os egipcíos, o perímetro era um pouco mais do o triplo do diâmetro. O escriba egípcio Ahmes, efectuou o primeiro registo escrito de pi, num papiro do séc. XVII a.C., atribuindo-lhe o valor de 256/81. Também na Bíblia existe uma referência ao número 3 para representar esta razão. Mais tarde, várias civilizações oram descobrindo valores cada vez melhores para esta curiosa constante. Nos séculos seguintes, os sábios gregos, indianos e chineses também foram apresentando novos valores, correspondendo a aproximações cada vez melhores. Hoje em dia são usados super-computadores para determinar o valor de pi com muitos milhões de casas decimais correctas.

Pi - ArquimedesA letra grega π só começou a ser utilizada para representar esta razão há cerca de 300 anos, na publicação "Synopsis Palmariorium Mathesios" de William Jones (1706). A escolha corresponde à primeira letra da palavra grega περιφέρεια (periphereia), que significa "à volta de". Antes, era conhecido como "constante de Arquimedes". O símbolo π era usado para indicar a circunferência de determinado círculo. No entanto, a notação introduzida por William Jones foi adoptada pelo grande matemático Leonard Euler e, a partir de então, passou a ser a representação standard para a representação da misteriosa constante.

Nomes dos números

Há certas coisas que noss parecem ser tão naturais que nem as questionamos. Os nomes dados aos números são uma delas. Em português e nas outras línguas latinas, esses nomes derivam da língua mãe, apresentando pequenas variações entre elas. No entanto, noutras partes do mundo, os números têm significados curiosos. Na Gronelândia, por exemplo, os numerais estão muito ligados aos dedos, não só das mãos, mas também dos pés. Cada dedo tem um nome específico que é igualmente atribuido ao numeral correspondente.

Primeira Mão
Segunda Mão
Primeiro Pé
Segundo Pé
1
atuseq
6
arfineq
11
arkaneq
16
arfersaneq
2
mardluk
7
arfineq-marluk
12
arkaneq-mardluk
17
arfersaneq-mardluk
3
pingasut
8
arfineq-pingasut
13
arkaneq-pingasut
18
arfersaneq-pingasut
4
sisamat
9
arfineq-sisamat
14
arkaneq-sisamat
19
arfersaneq-sisamat
5
tatdlimat
10
arfineq-tatdlimat
15
arkaneq-tatdlimat
20
arfersaneq-tatdlimat

O numeral 10 também é chamado de qulit e o 20 é conhecido por inuk navdlugo, que significa "homem terminado". Surge então um problema: Como contar números maiores? Para isso precisam de mais dedos e como já esgotaram os de uma pessoa, juntam novas pessoas à conta. Assim, temos por exemplo:

34   inup aipagssane           arkaneq-sisamat        (2ª pessoa, 14)
47   inup pingajugssane      arfineq-marluk            (3ª pessoa,  7)
78   inup sisamagssane       arfersaneq-pingasut   (4ª pessoa, 18)
95   inup tatdlimagssane     arkaneq-tatdlimat        (5ª pessoa, 15)

Dado que a Gronelândia se encontra sob jurisdição da Dinamarca, a língua nativa tem sofrido algumas influências do dinamarquês. Contudo, os gronelandeses que não usam o Inupik (o seu dialecto) não são muito bem vistos socialmente. E com uma gramática destas, nunca lhes devem faltar as palavras! Nem precisam de contar muitos carneiros para adormecer!Smiley

Conjectura de Goldbach

Conjectura de Goldbach - Manuscrito
Christian Goldbach (1690-1764) foi um importante matemático do século XVIII, nascido em Konigsberg (Prússia) e falecido em Moscovo. Foi também um importante historiador e professor de Matemática na Academia Imperial de Ciências de São Petersburgo. Exerceu ainda a função de tutor do Czar Pedro II da Rússia. Nos seus estudos encontrou uma propriedade que julgava ser comum a todos os números, mas nunca a chegou a provar. Desde essa altura, tanto ele com outros matemáticos tentaram provar a hipótese formulada, mas ninguém o conseguiu fazer até hoje. Em homenagem ao autor, essa propriedade foi nomeada Conjectura de Goldbach.

Em 1742, numa carta a Leonard Euler, Goldbach formulou a seguinte hipótese: "Todos os números inteiros maiores do que cinco, podem ser escritos como uma soma de três números primos."

6=2+2+2 7=2+2+3 8=2+3+3 9=3+3+3
10=2+3+5 11=3+3+5 12=2+3+7

Euler também não encontrou falhas na hipótese mas, tal como Goldbach, não a conseguiu provar. Mais tarde, o próprio Euler viria a reformular a hipótese enunciada pelo seu correspondente e reescreveu-a da seguinte forma: "Todos os números pares maiores que 2 podem ser escritos como a soma de dois números primos."

4=2+2 6=3+3 8=3+5 10=3+7 12=5+7
14=3+11 16=5+11 18=5+13 20=3+17

Hoje em dia, esta afirmação é conhecida como Conjectura de Goldbach e ainda continua à espera de uma demonstração rigorosa da sua validade. Ainda não é conhecida nenhuma excepção a esta hipótese. No entanto, isso não prova a sua veracidade.

Resolução do Problema de Einstein (Parte II)

Na Parte I da resolução do Problema de Einstein, chegamos a um ponto em que não podemos preencher mais nenhuma casa da tabela com a certeza de estarmos correctos. Então, temos que colocar uma hipótese ou fazer uma suposição. Se essa hipótese não entrar em contradição com nenhuma das pistas iniciais, a solução está correcta, pois ela é única. Caso contrário, a nossa suposição estava errada.

O dinamarquês, dado que bebe chã, só pode ficar na casa azul ou na casa branca. Suponhamos então que o dinamarquês mora na casa branca. Usando algumas dicas, facilmente chegamos à seguinte tabela: 

1ª Casa 2ª Casa 3ª Casa 4ª Casa 5ª Casa
Cor Amarela Azul Vermelha Verde Branca
Nacionalidade Norueguês Alemão Inglês Sueco Dinamarquês
Bebida Leite Café Chã
Cigarros Dunhill Prince
Animal Cavalos Cachorros

No entanto, surge agora um problema – uma das pistas diz que "O homem que fuma Bluemaster bebe cerveja" (XII). Com a tabela neste ponto, não conseguimos colocar na mesma coluna as opções "Bluemaster" e "Cerveja", pois em todas as colunas já existe uma opção relativa à bebida e à marca de cigarros preferida de cada um (todas diferentes destas). Assim, podemos concluir que chegamos a uma contradição. Esta contradição resultou da suposição que fizémos: "O dinamarquês mora na casa branca". Assim, o dinamarquês não pode morar na casa branca. Então só nos resta uma opção: "O dinamarquês mora na casa azul".

Fazendo agora o preenchimento da tabela partindo do pressuposto que a casa azul é habitada pelo dinamarquês e usando as restantes dicas, conseguimos preencher completamente a tabela da seguinte forma:

1ª Casa 2ª Casa 3ª Casa 4ª Casa 5ª Casa
Cor Amarela Azul Vermelha Verde Branca
Nacionalidade Norueguês Dinamarquês Inglês Alemão Sueco
Bebida Água Chã Leite Café Cerveja
Cigarros Dunhill Blends Pall Mall Prince Bluemaster
Animal Gatos Cavalos Pássaros Peixe Cachorros

Tendo em conta que a solução do problema é única e que foram usadas todas as dicas (e nenhuma delas entra em contradição com o preenchimento efectuado), podemos concluir que esta é a solução procurada, ou seja, quem tem o peixe é o alemão!

Problema de Einstein
Resolução do Problema de Einstein (Parte I)

Teorema de Gougu

Teorema de PitágorasNos dias de hoje, o resultado matemático mais conhecido, do qual todos já ouviram falar, embora nem todos o conheçam muito bem, é o Teorema de Pitágoras. Este diz que "num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos". Este importante resultado veiculado pela influente Escola Pitagórica tinha (e continua a ter) grande aplicação prática. Permite-nos determinar medidas desconhecidos dos lados de um triângulo rectângulo. Contudo, o resultado que mais contribuiu para a grande fama de Pitágoras entre a comunidade científica, já era conhecido e utilizado na China muitos anos antes.

Teorema de GouguUm texto chinês intitulado "Chou Pei Suan Ching", escrito durante a dinastia Han (500 a.C. – 200 d.C.), apresentava uma prova numérica do Teorema de Pitágoras, usando um triângulo rectângulo cujos lados mediam 3, 4 e 5. Alguns historiadores pensam que o documento é bastante anterior à dinastia Han, o que destaca ainda mais o nível de desenvolvimento da Matemática na Antiga China. A figura acima apresenta uma prova visual do referido teorema.

Alguns anos mais tarde, o mesmo resultado viria a ser conhecido na Índia como "Teorema de Baskhara". Isto mostra que a Ciência, embora se desenvolva de modos e ritmos diferentes nas várias civilizações, acaba por convergir para resultados comuns.